精品干货：晶体学取向的分析方法

晶体学取向是材料学科中的重要分支，当晶粒发生择优取向时，则导致材料性能（力学，物理和化学性能）的各向异性。各向异性会造成材料实际应用中的各种问题，如铝合金典型的制耳现象，再如取向硅钢中存在Goss织构时，有利于其磁学性能。在基础研究领域，织构的形成与演变是基本的科学问题。在工业应用领域，通过织构的设计和控制可以提高材料的性能。随着近年来EBSD和XRD等表征技术的发展，各种SCI期刊的发文都已离不开对材料晶体学取向的分析。然而关于晶体学取向的分析一直是难点，有些研究生甚至大学老师在面对极图、反极图和ODF图时一脸茫然。笔者当年也对晶体学取向的分析感觉甚为棘手，经过上百篇文献和书籍的阅读，同时辗转多次向多位国内大牛老师请教才得以入门。有感于晶体学取向分析的难度，笔者今天便将所学心得悉数分享给大家，希望能促进学术的交流，共同取得进步。

1. 晶带定律

晶带定律是晶体学中的重要定律，单晶极射赤面投影的正确理解和极图、反极图的分析都必须要正确掌握晶带定律。在空间点阵中，所有平行于某一直线的一组晶面的组合称为一个晶带。或者说交线相互平行的一组晶面的组合称为一个晶带。这一直线就称为晶带轴，它用晶向指数来表示。

1）晶带定律的含义：

已知一个晶面 (hkl) 和它所属的晶带[uvw]，就很容易得到二者之间的关系：hu+kv+lw=0，通常把这个关系式称为晶带定律。晶带定律实际上给出了晶面与晶向之间的关系，如果晶向[uvw]包括在晶面(hkl)中，二者就满足这个关系式。有了这个关系，我们就可以根据已知的晶面或晶带来求得另外一些晶面或晶带。

2）晶带定律的两个重要应用

已知两晶面(h₁k₁l₁)和(h₂k₂l₂)，求交线[uvw]。
解：根据晶带定律：

h₁u+k₁v+l₁w=0
h₂u+k₂v+l₂w=0
u：v：w=(k₁l₂-k₂l₁):(l₁h₂-l₂h₁):(h₁k₂-h₂k₁)

已知两晶带[u₁v₁w₁]和[u₂v₂w₂]，求晶面指数(hkl)。
解：根据晶带定律：

hu₁+kv₁+lw₁=0
hu₂+kv₂+lw₂=0
h:k:l=(v₁w₂-v₂w₁):(w₁u₂-w₂u₁):(u₁v₂-u₂v₁)

2. 单晶极射赤面投影

晶体内部各晶面和晶向之间的取向关系本质上为三维空间的相对关系，表示起来通常很不方便。所以人们总是希望这种三维关系转化为一种平面关系。目前最常用的便是极射赤面投影。单晶极射赤面投影的正确理解需要正确掌握晶带定律和晶面夹角的计算。关于晶面夹角的计算公式比较简单，在各种教材上皆已给出，笔者这里不再列出。极射赤面投影如图1所示，将晶胞放在球心，然后引各晶面的法线（图中绿线和红线）无限延伸，与球面相较于某点（A、B两极点），然后把球面的点与参考球的南极点S相连，则在赤道圆上相较于A'和B'两点，叫做A、B两极点的极射赤面投影点。

图1 极射赤面投影原理

图2为立方晶胞（001）、（100）和（010）面的极射投影，大家可以参考图1所给出的原理进行理解。可以看出，此晶胞在参考球中放置斜了，假设如果（001）面垂直于ND轴，则投影的结果为（001）位于基圆圆心，（100）位于TD直线与基圆的左交点，（010）点位于TD直线与基圆的下交点（见图2中的三个红点所示）。（001）、（100）和（010）三个面是两两垂直的关系，他们之间的夹角是90°。从图中不难联想到基圆的半径长为90°，1/4圆弧也为90°。

图2 立方晶胞（001）、（100）和（010）面的极射投影

极射投影的规律是：与赤道面平行的晶面，它的极射投影必在极圆中心；垂直于赤道面的晶面，它们的极点的投影必在极圆的圆周上；倾斜晶面极点的投影必在极圆内，晶面法线与投影的夹角越小，则投影点距极圆中心越近。投影图上的直线和圆弧上所有的点属于晶同一带。每一点的位置可以根据他所属晶带以及与圆心和上下极点的所呈角度求出。投影球面上任意两点P₁和P₂之间的大圆弧段的弧度(P₁ P₂)，既是P₁、P₂两点所代表的两条直线间的交角，也是它们所代表的两个平面间的交角或补角。一、三象限和二、四象限对称点互为相反数。

下面笔者带领大家画出立方晶胞（001）的极射投影。首先可以确定（001）极点在投影图基圆中心，其对应的大圆是基圆圆周，因此[001]为晶带轴的所有极点都在基圆圆周上，因为首先根据坐标系，确定（100）极点，由于（010） ⊥ （100），逆转90°便得（010）。（110）和（-110）也属于[001]晶带，由于（110）与（100）和（010）极点夹角分别为135°和45°，在圆周上旋转相应角度便得两个极点位置。根据象限规律可得（0-11）和（011）极点。以[010]为晶带轴的晶带位于过（100）极点和圆心的直径上，（101）（-101）属于此晶带，同样，计算他们与（010）和（001）的夹角就可以定出他们的极点位置。[-101]过 (010)和（101）的大圆弧，[0-11]晶带过（100）和（011）极点的大圆弧，（111）同属（-101）和（0-11）晶带，所以交点就属于（111）极点。其他的点都可以根据同样的原理画出^[1]。

图 3 立方晶胞（001）面的重要点的极射投影

由此可见：确定任一极点位置的要素主要有两个：1.确定所属晶带轴；2.确定此点与原点和两极点的夹角。单晶极射赤面投影是分析极图的基础，大家平时能够正确理解此图的原理与特点就行，没有必要亲手绘制。事实上，现在很多软件都可以画出任一晶系任一晶面的极射投影，笔者在这里给大家推荐的是PTC lab软件。这款软件在小木虫上就可以下载，

1）标准极图的画法

首先，我们应该了解极图的定义，极图是晶体的某一晶面相对于材料宏观坐标系的投影。这一晶面一般选择晶胞的低指数面，在立方晶系中一般用（100）、（110）、（111）面，而在六方晶系中用（0001）、（10-10）、（11-20）面。在表征材料的织构时，一般一个面的极图既可以表示出全部的织构，其他晶面的极图可以用于相互验证。极图主要用来描述板织构{hkl}<uvw>。根据极图的定义，很容易的看出，它表示的是晶体坐标系与样品坐标系的关系。下面我们重点介绍任一织构{hkl}<uvw>对应的某一晶面(HKL)的极图画法。

步骤：

1. 根据晶面之间夹角的计算公式可以算出{hkl}与(HKL)之间的夹角θ、{uvw}与(HKL)之间的夹角φ。

2. 在乌氏网上以圆心为中心，分别以θ为半径划圆，再以上下极点为中心，在乌氏网(Wulff’net)上找到与φ对应的两条等曲线，与前面的圆共有若干个交点。这些点就代表了在(HKL)极图的{hkl}<uvw>织构。

例1：{001}<100>立方织构的(111)、(200)、(220)标准极图的绘制方法^[2]。

a. {100}与(111)晶面的夹角是7°，在吴氏网(Wulff’net)上以圆心为中心（零度），在水平线或垂直线上找到54.7°点为半径划圆；该圆与以上下极点为中心距离为54.7°的两条弧线相交于4个点，这就绘成了立方织构的(111)极图。

图4 {001}<100>立方织构的(111)极图

b. {100}与(200)晶面的夹角是0°和90°，在吴氏网(Wulff’net)上的圆心和圆周满足(100)//ND的条件，上下极点和水平线满足<100>//RD的条件，因此，上下极点、左右极点和中心圆点共5个点就构成了立方织构的(200)全极图。

图5 图4 {001}<100>立方织构的(200)极图

c. {100}与(220)晶面的夹角是45°和90°，在吴氏网(Wulff’net)上以圆心为中心，距离圆心为45°和90°的圆就代表了(100)//ND,以上下极点为中心，距离极点为45°的弧线和通过圆心的水平线表示<100>//RD,上述圆和弧线、水平线的所有10个交点构成立方织构的(220)全极图。

图6 图4 {001}<100>立方织构的(220)极图

有了标准极图，我们就可以拿所测的极图做比较，很容易看出织构成分，简单易行。大家可以看出，画标准极图最主要的是正确的计算晶面族之间的夹角。

2）极图、反极图的分析方法

A. 很多同学或者老师在面对极图和反极图时往往一脸迷茫。极图的分析对于初学者确实比较难，一般的分析方法是将所得极图与单晶极射赤面投影对比，一旦对上，则单晶投影图的圆心给出晶面指数（HKL），轧向所指的晶面给出晶向指数<uvw>. 但实际所测的织构成分往往有很多种，这种对比的方法工作量非常之大。笔者建议极图分析用解析法。其一般步骤如下：

a.先看对称性（织构的成分一般具有对称性的，立方织构）；

b.再根据看与投影中心和上下两极点的夹角；

c.与中心计算的夹角求得晶面指数，与上下极点的夹角读书求得晶向指数。

图7 立方结构（111）极图分析图解

举例1：如图7所示为（111）极图，这意味着织构密度最大的四个点（图中为红点）都为{111}晶面族的子面。首先计算出与（111）晶面呈α角度的晶{hkl}—晶面指数，再利用β角度求出晶向指数<uvw>.所得到的（hkl）<uvw>便是该极图反应的织构。这仅为理论上极图的分析，实际测得的极图远为复杂，分析时需要大家综合分析。下面笔者带大家分析个实测的极图。

举例2：如图8所示，首先我们找三个极图的对称性（不同颜色的小三角形表示），可以看出，该材料主要存在三种板织构，分析方法如上。实际中由于各种复杂的因素，极图的对称性不是特别理想，我们在分析织构时也不必要刻意求对称性，可以假想某几个点旋转某一角度对称即可。

图8 立方结构极图的分析

举例3：如图9所示，红色的两部分明显对称，而黄色的并不对称，但是六方晶系的织构一般是对称的，所以我们可以根据极图的情况假设四点对称，从而求出晶向指数与晶面指数。图中红色部分织构为：（11-20）[1-100]。蓝色部分织构为：(11-20) [3-302].

图9 钛合金（0001）和（10-10）极图分析^[3]

B. 反极图的分析方法

反极图与极图正好相反，它表示各晶粒对应的外观方向（如轧面的横向、轧向和法向）在晶体学取向坐标系中所做的投影。反极图特别适合分析丝织构。例如图10所示为立方材料在XO、YO、ZO三个方向所得反极图。可以看出，反极图中XO和ZO方向的<101>和<111>方向织构密度最大.所以材料中存在<101>//XO与<111>//ZO两种丝织构。反极图的分析方法比较简单，特别需要注意的是如果要分析板织构，则需要三个方向的反极图。实际中如果材料中存在反极图，笔者建议还是利用极图进行分析。

图10 反极图的分析

3）附件，立方晶系和六方晶系的晶面夹角

极图的分析主要难点是是晶面族之间夹角的计算，虽然课本上给出了公式，但是很多同学依然不能够正确计算，笔者今天就列出立方晶胞各晶面族之间的夹角，在列出六方晶系典型晶面族之间的夹角^[4]，以提供给大家方便。

表1 立方结构各晶面族之间的夹角

表2 密排六方典型晶面族之间的夹角

参考文献：

[1] 杨平，电子背散射技术及其应用，冶金工业出版社；

[2] 陈亮维，史庆难，王剑华等，一种晶体织构极图的分析方法；

[3] Peng Lin, AihanFeng , ShijianYuan et al; Microstructure and texture evolution of a near-a titanium alloy during hot deformation. Materials Science & Engineering A. 563 (2013) 16–20

[4] 陈亮维,霍广鹏，虞澜等，金属锆织构的标准极图及分析，昆明理工大学学报。

本文由虚谷纳物供稿。

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